TRƯỜNG THCS YÊN TRUNG
PHÒNG GD - ĐT THẠCH THẤT
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2013-2014
================
môn: toán
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)


Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K =


a/ Rút gọn K
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên
Bài 2: (3 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:


Bài 3: ( 4 điểm )
a)Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn đồng thời các điều kiện :

và

b)Trên tờ giấy kẻ vô hạn các ô vuông và được tô bởi các màu đỏ hoặc xanh thoả mãn bất cứ hình chữ nhật nào kích thước 2x3 thì có đúng hai ô màu đỏ.Hỏi hình chữ nhật có kích thước 2010x2011 có bao nhiêu ô màu đỏ .
Bài 4: (4 điểm)
a)Cho biểu thức:

Tìm x để

b) Cho x, y, z ( 0 và
.
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc
(
là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó.
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (4 điểm)
a/ K =
=
(0,5đ)
=
=
=
(1,5đ)
b/ K =
= 1 +
(0,5đ)
K nguyên khi 2

Ư(2) =
(0,75đ)
Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75đ)
Bài 2: (3 điểm)
Chứng minh BĐT phụ: Với x, y>0 có
(1đ)
(Không chứng minh chỉ cho 0,5 điểm)

áp dụng BĐT trên ta có




(1,5 đ)
Cộng từng vế ba BĐT trên, ta có điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra <=> a+3b=b+2c+a <=> a=b=c (0,5 đ)
Bài 3:
a)Có


0,25

Nếu a = b và a , c dương .Ta có

Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau :


0,75

Nếu b = c và b,c dương .Ta có

Vì a,b,c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau :


0,75

Vậy các cặp số nguyên dương (a;b;c) thoả mãn là (3;3;3) và(2;4;4)và (4;4;2)
0,25

b)Ta chứng minh hình chữ nhật kích thước1x3 chứa đúng một ô màu đỏ (1)
Thật vậy , nếu điều này không đúng tức là tồn tại một hình chữ nhật k nào đó có số ô màu đỏ khác 1.hay số ô màu đỏ của k là 0 hoặc 2.
giả sử số ô màu đỏ của k là 2
0,75

0,25

Xét hình chữ nhật ABCD theo giả thiết ABCD chứa đúng hai ô màu đỏ nên 1;2;3;4 màu xanh.lại suy ra các ô 5;6 đỏ ( xét hình chữ nhật AHPQ)
nên hình chữ nhật EHGF có ít nhất 3 ô màu đỏ.Mâu thuẫn.
Nếu số ô màu đỏ của k là o thì trái với giả thiết
Vậy (1) được chứng minh
0,75




Do